Hur vänder du avtagande
•
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
KÖP PREMIUM
Så funkar det för:
Elever/StudenterLärareFöräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
Derivatan är mycket användbar när vi ska studera funktioner och de tillhörande grafernas utseende.
Grafen till funktionen $f\left(x\right)$() är växande i de intervall där derivatan är positiv eller lika med noll.
Grafen till funktionen $f\left(x\right)$() är avtagande i de intervall där derivatan är negativ eller lika med noll.
Punkter där derivatan är lika med noll, så kallade stationära punkter, sägs både vara växande och avtagande.
Växande och avtagande funktioner
Samband mellan derivatan och tangentens lutning
Samband mellan derivatan och funktionens utseende
Strängt växande och strängt avtagande
Konvexitet och konkavitet
Derivatan och funktionens extrempunkter
Alternativt s
•
Andragradsfunktioner
Ett polynom kan som vi tidigare sett vara ett nolltegradspolynom \(f(x)=a\), ett förstagradspolynom \(f(x)=ax+b\) eller ett andragradspolynom \(f(x)=ax^2+bx+c\) eller ännu högre grad. Vi ska nu studera hur ett andragradspolynom ser ut i ett koordinatsystem.
Vi ska börja med följande funktion:
$$f(x)=x^{2}$$
För att förstå hur funktioner av detta slag ser ut som graf så skapar vi först en värdetabell:
| x | f(x) |
| -3 | 9 |
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
Sedan sätter vi in varje par av värden \( (x, f(x)) \) som punkter i ett koordinatsystem och sammanbinder punkterna:
Det ser ut som att sambandet bildar en symmetrisk u-formad kurva, som skär genom origo. Detta är helt rätt. Hade vi valt att beräkna och sätta in fler punkter hade vi fått en kurva som inte hade varit så kantig. Om vi hade valt att använda riktigt många punkter så skulle kurvan se ut enligt följande figur:
Eftersom x2 i funktionsuttrycket har en positiv koefficient (i
•
En funktion anses vara växande då den ökar i värde i $y$-led då $x$ -värde blir större.
Funktionen är avtagande då den minskar i $y$ -led samtidigt som $x$ -värde blir större.
Om den varken är växande eller avtagande så befinner sig funktionen i ett så kallat extremvärde. Det här extremvärdet kan vara en minimipunkt, en maximipunkt. Det finns även en möjlighet att det är en terrasspunkt.
För derivatan gäller följande i dessa fall.
Växande och avtagande
Om funktionen $f$ är deriverabar på intervallet $a<$<$x<$<$b$ gäller att
$f$ är växande i intervallet om och endast om $f´(x)\ge0$´()≥0 för alla $x$ i intervallet.
$f$ är strängt växande i intervallet om $x_1<$1<$x_2$2 leder till att $f\left(x_1\right)<$(1)<$f\left(x_2\right)$(2) för alla $x$ i intervallet.
$f$ är avtagande i intervallet om och endast om $f´(x)\le0$´()≤0 för alla $x$ i intervallet.
$f$ är strängt avtagande i intervallet om $x_1<$1<$x_2$2